Projection

Distance between point and set

Расстоянием от точки до замкнутого множества является:

Projection of a point on set

Проекцией точки на множество называется точка :

  • Если множество - открыто, и точка в нем не лежит, то её проекции на это множество не существует
  • Если точка лежит в множестве, то её проекция - это сама точка
  • Пусть - выпуклое замкнутое множество. Пусть так же имеются точки и . Тогда если для всех справедливо неравенство:

    то является проекцией точки на , т.е.

  • Пусть - афинное множество. Пусть так же имеются точки и . Тогда является проекцией точки на , т.е. тогда и только тогда, когда для всех справедливо равенство:
  • . Если - замкнутое множество, то проекция любой точки на множество существует.

Example 1

Найти , если ,

Решение:

  • Из рисунка строим гипотезу:

  • Проверяем неравенство для выпуклого замкнутого множества:

  • Первый сомножитель отрицателен по выбору точки . Второй сомножитель так же отрицателен, если применить к его записи теорему Коши - Буняковского:

Example 2

Найти , если ,

Решение:

  • Из рисунка строим гипотезу: . Коэффициент подбирается так, чтобы : , т.е.:

  • Проверяем неравенство для выпуклого замкнутого множества:

Example 3

Найти , если ,

Решение:

  • Из рисунка строим гипотезу: . Коэффициент подбирается так, чтобы : , т.е.:

  • Проверяем неравенство для выпуклого замкнутого множества: