Convex functions

  1. Show, that is convex on .
  2. Show, that is convex and concave.
  3. Show, that , where - is convex on .
  4. Show, that - is convex, if .
  5. Prove, that is convex on .
  6. Show, that is convex, using first and second order criteria, if .
  7. Find the set of , where the function is convex, strictly convex, strongly convex?
  8. Find the values of , where is convex, strictly convex, strongly convex?
  9. Выпуклы ли следующие функции: ?
  10. Докажите, что множество выпукло.
  11. Prove, that function is convex, while is concave.
  12. Kullback–Leibler divergence between is:

    Prove, that и

    Hint:

  13. Let be a real variable with the values with probabilities . Derive the convexity or concavity of the following functions from on the set of
  14. Определения выпуклости и сильной выпуклости. Критерии выпуклости и сильной выпуклости первого и второго порядков
  15. Геометрическая интерпретация выпуклости и сильной выпуклости. (подпирание прямой и параболлой)
  16. Приведите различные три операции сохраняющие выпуклость функции.
  17. Доказать, что для

    • Hölder’s inequality: . For .

    For

  18. Доказать, что что матричная норма выпукла.
  19. Доказать, что:

    • если - выпукла, то так же выпукла.
    • если - выпукла, то выпукла для .
    • если - вогнута, то выпукла для .
  20. Выпукла ли функция на множестве ? Известно, что эта функция выпукла, если - симметричная матрица (упражнение - доказать). Докажите выпуклость или приведите простой контпример.
  21. Пусть функция - выпуклая на неубывающая функция, кроме того: при . Докажите, что функция выпукла на .
  22. Is the function returning the arithmetic mean of vector coordinates is a convex one: : , what about geometric mean: ?
  23. Show, that the following function is convex on the set of all positive denominators

  24. Влияют ли линейные члены квадратичной функции на ее выпуклость? Сильную выпуклость?
  25. Пусть такова, что . Является ли такая функция выпуклой?
  26. Find the set, on which the function will be convex.
  27. Is convex?
  28. Prove, that adding to any convex function ensures strong convexity of a resulting function . Find the constant of the strong convexity .
  29. Prove, that function

    is convex using any differential criterion.

  30. Prove, that a function is strongly convex with parameter if and only if the function is convex.

  31. Give an example of a function, that satisfies Polyak Lojasiewicz condition, but doesn’t have convexity property.
  32. Prove, that if - convex function, then will be strongly convex function